La disposizione degli atomi nei corpi solidi può essere disordinata e casuale come nel vetro o essere geometricamente ordinata a costituire un reticolo di traslazione tridimensionale come avviene nei cristalli. Da più di centocinquanta anni i cristalli sono stati oggetto studio e di ricerche, e le regole con le quali sino a pochi anni fa sembravano essere definiti, erano in relazione alla loro simmetria rotazionale; le simmetrie possibili erano: quella binaria, ternaria, quaternaria ed esaeria, cioè la struttura del cristallo coincideva con quella iniziale dopo mezzo, un terzo, un quarto o un sesto giro di rotazione rispettivamente. Le strutture cristalline perfette possono contenere piramidi, cubi o esaedri, ma mai pentaedri, a parte la segnalazione [1] sul rame che allo stato liquido presenta una simmetria quintupla simile ai quasicristalli.
Recentemente queste regole hanno subito uno scossone concettuale che ha tratto origine dallo studio delle figure piane che riescono a ricoprire con ordine, e completamente, una data superficie piana (ad esempio un pavimento) con forme che vengono reiterate a mò di puzzle. La figura piana, strettamente collegata matematicamente al rapporto aureo è, come abbiamo visto, il pentagono che però, rispetto alle altre figure piane: il quadrato, il triangolo equilatero e l’esagono, non é adatto a ricoprire regolarmente e completamente una superficie.
E’ stato Roger Penrose nel 1974 che ha scoperto due nuovi schemi fondamentali di intarsio: le figure del dardo e dell’aquilone, che si sono aggiunti a quelli dei quadrati, dei triangoli e degli esagoni e che entrambi in ogni loro parte posseggono inscritto il rapporto aureo; inoltre di maggior interesse è la loro proprietà, di per sé affascinante, che la loro disposizione, cioè il rapporto tra il numero degli aquiloni e quello dei dardi converge con quello aureo: 1,618…..! Due anni dopo, nel ’76, il matematico R. Ammon è riuscito a riempire un volume con due tasselli tridimensionali a forma di cubo (chiamati romboedri) analoghi ai tasselli di Penrose, con uno schema però non periodico. Due anni dopo Dany Schectman, un ingegnere israeliano studioso delle proprietà dei metalli, ha scoperto dei cristalli di una lega di alluminio-manganese con struttura a simmetria quintupla, che in ambito biologico equivarrebbe alla scoperta di un volatile senza ali! Questi cristalli sono stati etichettati quasicristalli.
In seguito Sergei Burkov, matematico ed fisico teorico dell’istituto Landau di Mosca, ha dimostrato che la quasi-periodicità poteva essere ottenuta con una sola unità decagonale, purché i tasselli potessero in parte essere sovrapposti; in tal modo la quasi periodicità dei quasi-cristalli era assicurata. Dopo cinque anni Petro Gummelt dimostrava che l’intarsio di Penrose poteva evidenziare la periodicità qualora facesse parte di un decagono che può anch’esso sovrapporsi, e, in seguito, grazie a questa ricerca, Steinart dell’università di Princeton e Hyeong-Chai di Seul hanno dimostrato che la sovrapposizione giustificata matematicamente per via teorica può essere fisicamente chiarita dimostrando che le “celle quasi elementari” condividono atomi con i raggruppamenti atomici vicini e nel 1998, bombardando una lega di alluminio- nichel e cobalto con raggi Roetghen e con fasci di elettroni hanno ottenuto strutture le cui immagini dimostrano nei punti di sovrapposizione degli scalini, che, guarda caso, rispettano tra loro il rapporto aureo! Questa complessa rete di conoscenze sui quasicristalli l’ho desunta e condensata dal testo di Mario Livio, “La sezione aurea”, Milano, Rizzoli 2003.
Con un innovativo metodo nanotecnologico [2] sono stati creati nano-cristalli tridimensionali costituiti da vetro e plastica con caratteristiche rivoluzionarie in campo ottico. Come le strutture cristalline responsabili dell’iridescenza degli opali e dei colori delle ali delle farfalle, queste sfere quasicristalline creano l’effetto prisma diffrangendo differenti lunghezze d’onda della luce in differenti direzioni. Si riesce in tal modo a manipolare la luce come i semiconduttori manipolano gli elettroni.
Questa complessa rete geometrica matematica strutturale si è arricchita recentemente di un tassello storico esplicativo ad opera di Peter J. Lu [5], giovane ricercatore della Havard University, che, in collaborazione con Paul Steinhardt della Princeton University, hanno messo in relazione le decorazioni che abbelliscono le pareti in un Madrasa a Bukhara con quelle figure simili dei quasicristalli, oggetto dei loro studi matematici, dando dimostrazione che già nel 1.200 in Persia i mosaici girih presentavano figure geometriche sicuramente derivate da concetti matematici, che nell’occidente sono stati evidenziati da Penrose solamente una trentina di anni fa [3], [4].
Si pensava infatti che i meravigliosi mosaici che abbelliscono le pareti delle moschee e dei palazzi sacri del mondo islamico fossero solo il risultato di abili artigiani, che con pazienza e precisione assemblavano le affascinanti composizioni, ora emerge che per la loro realizzazione gli architetti possedevano una cultura matematico-geometrica di base, che da più di settecento anni ha permesso loro di creare figure simili ai quasicristalli di Penrose. Tutta la vicenda teorico matematica di queste realtà fisiche, che hanno permesso la dimostrazione dei quasi-cristalli, rappresenta una vera sintesi tra il ragionamento teorico matematico e la realtà fisica!
I quasi-cristalli rappresentano pertanto un raccordo derivato da un concetto di pura matematica: il rapporto aureo, che si evidenzia in queste strutture, che contemporaneamente dimostrano e sono la prova del connubio tra la nostra mente e la realtà che ci circonda, tra i problemi matematici astratti e le strutture fisiche del mondo, il cui tramite è la semplice retta nella quale: “il tratto più breve è in rapporto con il tratto più lungo, come questo al tutto”! E’ incredibile! Ma è vero! Al pari della meraviglia che si prova ammirando le decorazioni delle moschee del mondo islamico giustificate dal precetto del Corano: “Tu non disegnerai alcuna figura”, sottintendendo che l’armonia esiste solo nella forza della matematica, che evidenzia e fa risaltare secondariamente la bellezza delle opere umane.
[1] Andrea Di Cicco, Angela Trapananti, Silena Faggioni e Adriano Filipponi. “Is There Icosahedral Ordering in Liquid and Undercooled Metals?” Phys. Rev. Lett. 91, 135505, (26 settembre 2003).
[3] Penrose R. The role of aesthetics in pure and applied mathematical research. Bull. Inst. Math. Appl. 266-271, 10, 1974.
[4] Penrose R. Pentaplexity. Math. Intelligencer 32-37, 2, 1979
[5] Peter J. Lu, Science 315, 1106 (2007)
[5] Peter J. Lu, Science 315, 1106 (2007)
Decagonal and
Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture:
http://www.physics.harvard.edu/~plu/publications/Science_315_1106_2007.pdf
http://www.physics.harvard.edu/~plu/publications/Science_315_1106_2007.pdf
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