18 L’universalita’ del rapporto aureo
Il fascino del mondo ci pervade per i suoi colori, le sue forme e rimaniamo incantati, affascinati ed estatici, commossi e turbati all’ascolto delle sublimi armonie. La nostra mente istintivamente ingloba ed è sincrona con la realtà che è oggettivamente a noi esterna. Questa assonanza è stata avvertita dall’umanità sin dai primordi; anche se alcune afferenze riescono a turbare gli esseri vicini al nostro filum e pare anche le piante!
La disposizione dei petali dei fiori o delle foglie sui rami o quella de rami stessi istintivamente ci interessano e incuriosiscono. Le forme eleganti delle conchiglie o i vortici di un ruscello, le continue modifiche dei contorni delle nuvole che si stagliano nel cielo ed il loro variare in diffusi ed indistinti nebbiosi confini, alla stregua dell’autonoma vitalità scoppiettante di un ceppo infuocato, sono spettacoli che ci attraggono affascinandoci.
Tutta la realtà che ci circonda emana un “profumo” indistinto che inebria, non in egual misura, la totalità degli esseri umani. Perché? Qual’é il motivo per cui noi ci sentiamo a casa nostra nell’universo? Quali sono quegli indistinti legami che ci uniscono alla realtà esterna? E’ un interrogativo che l’Uomo singolarmente o socialmente si è sempre posto inebriandosi ed inventandosi quelle forze, che hanno originato culti, miti e religioni, al fine di ricercare la verità. La stessa “scienza” inizialmente era un tutt’uno con la religione e la scuola pitagorica ne rappresenta un esempio chiarificatore. E la storia ci insegna come le organizzazioni religiose hanno sempre inglobato il sapere approfittando poi del potere che emana.
Noi del terzo millennio d.C. da due-trecentomila anni abbiamo iniziato a dialogare [1] e a far di conto [2], modificando lentamente le caratteristiche dei nostri parenti prossimi e di tanti animali di specie diverse; noi che siamo il risultato di un processo filogenetico enormemente complesso [3] e abbiamo acquisito caratteristiche maldestramente umane, credendo orgogliosamente di conoscere compiutamente le nostre capacità, siamo stati tuttavia in grado di iniziare ad individuare alcune regole del mondo ed i rapporti tra i mille rivoli del sapere: dall’osservazione analitica della prolificità dei conigli in una continua rete cognitiva, che ha interessato e si è diffusa a un numero esorbitante di eventi e realtà, noi siamo arrivati a stabilire la semplice regola del rapporto aureo, che permea come altre regole matematiche tutto l’Universo.
“Il tutto sta ad una parte come la parte sta alla restante”
Euclide [4] (sec III a.C.)
La dimostrazione del perché una rosa, simbolo dell’armonia, dell’amore e della fragilità della bellezza, riesce ad affascinarci, e del perché “in qualche modo attraverso una rosa il linguaggio dell’amore raggiunge i nostri cuori” [5], scaturisce non solo da una nostra intuizione estetica, ma, ed è ancor più affascinante, dal percorso cognitivo che origina nebulosamente nell’antica Grecia, e trova in Euclide la prima espressione!
Per intenderci dobbiamo iniziare considerando un semplice segmento (A-B) che viene diviso in due porzioni. Se il rapporto tra il segmento AB e la porzione maggiore AC è eguale al rapporto tra la parte maggiore AC e la parte minore CB:
( A------------------------C---------------B ) il segmento è stato diviso secondo la proporzione estrema e media, ovvero secondo il suo rapporto aureo.
Nella letteratura matematica il rapporto aureo, che è 1,618039887……… è indicato con la lettera τ (Tau da Tomé = sezione), ma dal XX secolo è indicato con la lettera Ф dall’iniziale dello scultore Fidia[6] (490-430 a.C.), costruttore del Partenone di Atene e del tempio di Giove ad Olimpia; queste opere hanno raggiunto i canoni universali di bellezza, perché hanno rispettato la proporzione aurea! Del resto la bellezza non dipende solo dalla sua ricezione, ma è una qualità insita nelle cose e nel mondo. Perché il mondo, che emerge al margine del caos, è caratterizzato da una struttura fondamentalmente armoniosa? La risposta la ritroviamo nelle semplici parole del poeta Angelo Silesius [7]: “La rosa è senza perché: fiorisce perché fiorisce. A se stessa non bada, che tu la guardi non chiede” [8].
Associare la bellezza a questo semplice rapporto lineare, ha avuto culturalmente origine dalle opere di Euclide determinando inimmaginabili conseguenze in tutte le dottrine e le arti umane. Ma la meraviglia, che possiamo definire universale, è che questo rapporto si ritrova nella disposizione dei petali delle rose, in quella dei semi del fiore di girasole, nella crescita dei rami, nella forma delle galassie e pervade le dottrine matematiche ed i capolavori dell’arte. Questo numero, che angosciò i pitagorici non essendo né un numero intero, né razionale, né potendosi esprimere per mezzo di una frazione, ci affascina per la sua incredibile propensione a comparire in ambiti diversissimi, quando meno lo si aspetta. A dimostrazione della sua universalità. Joannes Kepler [9] asserì che: “La geometria ha due grandi tesori: il primo è il teorema di Pitagora, paragonabile ad un oggetto d’oro, ed il secondo è la sezione aurea, definibile prezioso gioiello”.
La sezione aurea, numero irrazionale pari a 1,61803, compare negli ambiti strutturali più inaspettati: in botanica, in architettura, in biologia ed è sempre sinonimo di bellezza e di armonia; è associata anche al pentagono regolare perché la diagonale ed il lato del poligono hanno come rapporto proprio il Ф. In effetti, più in generale, il lato e la base di un triangolo isoscele, con angoli alla base di 72°, hanno come rapporto il phi: il triangolo allora è definito aureo. Collegando tutti i vertici del pentagono tramite diagonali si ottiene un pentagramma, ovvero la stella a cinque punte, simbolo del rapporto armonioso derivato dalla sezione aurea e noto in alcune sette mistiche col nome di "Stella Fiammeggiante". 
Ed è la stessa figura che si osserva tagliando una mela sul piano equatoriale: i semi sono disposti a formare una stella a cinque punte! Questo simbolo è presente sia nella religione indù, che in quella ebraica. Era il sigillo di Salomone (Pentaculum Salomonis) e la stella era già famosa ai tempi di Pitagora come Sigillum Pythagorae e lo troviamo anche nelle decorazioni dei Templari. Nella Germania medioevale era conosciuta come Drudenfuss (piede di strega) e aveva fama di possedere misteriosi poteri diabolici. Poteri poi dimostratisi tali dalle brigate rosse, che lo assunsero come simbolo!
Ed è la stessa figura che si osserva tagliando una mela sul piano equatoriale: i semi sono disposti a formare una stella a cinque punte! Questo simbolo è presente sia nella religione indù, che in quella ebraica. Era il sigillo di Salomone (Pentaculum Salomonis) e la stella era già famosa ai tempi di Pitagora come Sigillum Pythagorae e lo troviamo anche nelle decorazioni dei Templari. Nella Germania medioevale era conosciuta come Drudenfuss (piede di strega) e aveva fama di possedere misteriosi poteri diabolici. Poteri poi dimostratisi tali dalle brigate rosse, che lo assunsero come simbolo!
La sezione Aurea (Ф) si evidenzia nell’armonia della natura ed é, come il π greco, uno di quei misteriosi numeri naturali che sembrano essere pietre strutturali del cosmo.
Il più antico reperto su cui è raffigurato il rapporto aureo risalirebbe a quasi 5000 anni fa, e proviene da Abido, l’antica capitale egizia del periodo pre-dinastico; sulla stele del re Get, conservata al Louvre, si osserva in un rettangolo aureo da una parte la riproduzione della città, e, dal lato superiore in un rettangolo, anch’esso aureo, un serpente, simbolo del re.
Gli antichi Egizi utilizzarono il rapporto aureo come base architettonica di una delle sette meraviglie del mondo [10]: il faro di Alessandria eretto a ricordo della dinastia dei Tolomei, crollato e inabissandosi nel 1375 in seguito ad un terremoto disastroso. Il faro era formato da tre piani: una base quadrata, un secondo piano ottagonale alto metà della base, e dal terzo piano a base circolare alto la metà del secondo. Le statue che ornavano i diversi piani erano alte 2,1 , 4,2 e 10,5 metri rispettivamente, con un rapporto analogo ai valori della serie numerica del Fibonacci [11]; che in tutt’altro contesto ha dimostrato la ragnatela matematica esistente alla base dell’armonia nell’arte e in tutto l’Universo.
In seguito i Greci furono i veri cultori di questo rapporto geometrico: non a caso il simbolo della sezione aurea è Ф, dal nome dell’eccelso scultore Fidia [12].
Platone [13] nel Timeo sostiene che i tre termini della proporzione divina: il maggiore (la linea intera), quella di mezzo ( il segmento più lungo) ed il minore (il segmento più corto) sono “tutti di necessità gli stessi, e, poiché sono gli stessi, non sono che uno”; in questa affermazione aleggia e prende consistenza il mistero dell’Unità e della Trinità della nostra religione, che tanti concetti ha ripreso e assorbito dal platonismo.
In una progressione di divine proporzioni, ogni parte è un microcosmo, modello di tutto l'insieme. Ed anche in questo concetto possiamo intravedere l’identità dell’umano con l’universale.
La sezione aurea è l’espressione matematica della bellezza della natura. Dall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande: tutto sembra regolato da perfezioni matematiche, da precisi calcoli predefiniti, applicati alla piccola chiocciola che vive nel sottobosco sino alle immense galassie a spirale contenenti miliardi di stelle.
Molti rettangoli aurei sono evidenziabili sulla facciata del più celebre dei monumenti greci: il Partenone, il cui aspetto armonico ispira una profonda sensazione di equilibrio.
Nel rinascimento la sezione aurea rappresentò il canone della bellezza ed ispirò ogni composizione artistica: dall’architettura, alla scultura, alla pittura. Il testo del Pacioli [14]: ”La Divina Proporzione” diffuso in tutta l’Europa fu il tramite e contribuì alla sua conoscenza, rappresentando il simbolo dei segreti della bellezza e della natura nel cui centro é collocato l’Uomo, inserito in un cerchio ed in un quadrato: la celebre figura dell’Uomo di Vitruvio di Leonardo da Vinci. Cerchio e quadrato uniti anch’essi da un altro rapporto universale: il pi greco.
La proporzione aurea trasmette all’osservatore un senso di armonioso equilibrio; questa verità è stata dimostrata da una ricerca eseguita anni fa e condotta mostrando a tanti soggetti vari rettangoli con diversi rapporti tra i loro lati: la preferenza ovviamente fu per il rettangolo i cui lati presentavano tra loro il rapporto aureo. Del resto molti di noi sono possessori di “un rapporto aureo”, quando sono i portafogli sono ripeni di carte di credito e di tessere di varie associazioni!
Rimaniamo affascinati dalle costruzioni architettoniche e dalle sculture degli antichi greci, e nel Rinascimento tra tante opere d’arte, dalle dimensioni e dall’armonia della Monna Lisa, disegnata su di una griglia strutturale che presenta come modulo il rettangolo aureo.
Ancora oggi, a dispetto di tanti canoni classici dimenticati, alcune opere architettoniche rispettano la proporzione aurea: il palazzo di Vetro dell’ONU e il museo Guggenheim di Frank Loyd Wright e pochi altri.
Ma ancora più sorprendente è che l’accrescimento biologico di alcune specie presentano semplici schemi strutturali: la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo, la disposizione dei petali e dei semi di tanti fiori, come la rosa, il girasole, la margherita e tantissimi altri, se non tutti. Queste collocazioni ripetitive e queste proporzioni sono espressioni della bellezza matematica della natura sin dall’antichità e sono indicative dell’armonia geometrica dell’Universo. I rami lungo il tronco degli alberi e le foglie sui rami tendono ad occupare la posizione che maggiormente favorisce l’esposizione ai raggi solari ed alla pioggia ed inoltre presentano una componente rotatoria, che, con avanzamento verso l’alto, disegna intorno al fusto un’elica immaginaria: se osserviamo con attenzione una foglia e innalziamo lo sguardo verso l’alto potremo osservare, dopo uno, o due, tre, o cinque giri della spirale immaginaria, una seconda foglia allineata alla prima; ed il numero dei giri per ritrovare la stessa posizione è caratteristico per ogni singola specie di pianta.
Anche il numero dei petali dei fiori varia: le Calee ne posseggono uno, l’Euphorbie due, i Trillum tre, le Columbine cinque, i Bloodrot otto, altri tredici; ed anche l’accrescimento segue uno schema predefinito, ad esempio, ogni ramo dell’Achillea ptarmica impiega un mese prima di biforcarsi e nel secondo mese due biforcazioni, nel terzo mese tre, al quarto mese cinque. Per descrivere questi interessanti fenomeni, in analogia alle posizioni ripetitive, che si osservano nelle squame (bratte) delle pigne, nei semi di girasole e nelle scaglie dell’Ananas, il naturalista svizzero Bonnet nel 1700 coniò il termine Filotassi (dal greco Philon=foglia e Taxis=ordine).
Per comprendere il vero significato della filotassi, dobbiamo ora fare un balzo temporale all’indietro di seicento anni ricordando alcune osservazioni che hanno fatto risaltare la serie numerica di Fibonacci [15], tassello fondamentale della struttura matematica dell’Universo. Era il tempo di Federico II di Svevia [16], l’Imperatore degli imperatori! Definito “Stupor Mundi” (Stupore del Mondo) per le sue innegabili ed eccezionali qualità politiche, per la sua inesauribile curiosità intellettuale, che si dipanava in ogni settore del sapere: dalle scienze naturali, alle leggi, alla matematica, conoscitore di otto lingue, acuto osservatore della natura, si occupava di filosofia, astrologia, poesia; aveva come metodo e per principio operativo l’osservazione diretta frutto della sola esperienza: era indipendente dalle tradizioni, aborriva le superstizioni e la stregoneria, allora imperanti. Per queste sue qualità ha rappresentato e può essere ancora ai giorni nostri considerato il primo esempio di scienziato e di Uomo moderno scienziato! Innovatore della letteratura italiana, fondò la Scuola Siciliana, dando vita ai primi germogli della nostra lingua nazionale per l’influenza che apportò al fiorentino letterario, base della Divina Commedia. Si contornò di filosofi, eruditi, giuristi, scienziati esprimendo con la sua fertile curiosità culturale il primo esempio del futuro rinascimento italiano.
Alla sua corte soggiornarono personaggi di grande spessore culturale per i suoi tempi e di rilievo tra cui Michele Scoto traduttore di diverse opere di Aristotele. Fu il primo ad occuparsi di ecologia dando disposizioni sul come e dove dovevano essere sepolti i cadaveri e dove potevano essere bruciati i rifiuti lontano dalle abitazioni. La sua attività ludica principale, oltre ad essere un antesignano del libertinaggio presidenziale, consisteva nella caccia con il falcone e scrisse un trattato analitico, e ancora attuale sulla falconeria: il “De Arte venandi cum avibus”.
Fondò la Scuola retorica di Capua, quella medica Salernitana e nel 1224 la prima o fra le prime Università d’Europa: quella di Napoli. Con Pier delle Vigne, suo fidato notaio, emanò da Melfi, il più bello fra gli innumerevoli castelli dell’Italia meridionale, le Costitutiones Augustales, codice legislativo del regno di Sicilia fondato sul diritto romano e normanno, opera considerata fondamentale della storia del diritto. Il suo merito nella storia del pensiero scientifico fu quello di aver predisposto e favorito quell’atmosfera culturale che permise la diffusione del sapere orientale a quella occidentale. Il tramite del percorso culturale matematico tra oriente ed occidente si deve infatti al pisano Leonardo, detto Bigollo, conosciuto universalmente col nome di Fibonacci derivante da quello paterno di fillio Bonacci. Il padre Guglielmo Bonacci, ricco mercante pisano che commerciava nei porti del Mediterraneo, dette la possibilità al figlio di visitare e soggiornare in diversi paesi arabi, ove sin da piccolo ebbe la possibilità di apprendere i principi dell’algebra e del calcolo dai maestri algerini a cui venne affidato. Leonardo, mercante come il padre, viaggiò in Siria, Egitto e conobbe i più noti matematici del tempo; la sua pluriennale esperienza costituì la base del trattato: il “Liber Abaci”, col quale fece conoscere all’occidente le nove “figure indiane”: le cifre, per specificare i numeri ed il segno del nulla, del vuoto, del vento: lo zero [17]. Quest’ultimo ha enormemente contribuito al successo della rappresentazione numerica per la notazione posizionale: infatti senza lo zero non potremmo dare il diverso significato ad una cifra a seconda della posizione in cui compare [18].
Il Liber abaci, fondamentale sintesi della matematica classica, di quella indiana ed araba, deve essere considerato punto iniziale per gli algebristi europei del rinascimento e per la cultura matematica moderna.
Nel 1223 a Pisa si tenne un singolare torneo tra gli chi utilizzava l’abaco e chi il metodo posizionale; la gara consisteva nel giudicare chi risolveva calcoli complessi con maggior velocità ed esattezza; il torneo fu ovviamente vinto dagli algoritmisti, che dimostrarono inequivocabilmente l’estrema velocità di calcolo del metodo posizionale rispetto a quello basato sull’abaco. Federico II assistette alla gara e invitò Fibonacci alla sua corte assegnandogli un vitalizio per permettergli di dedicarsi completamente agli studi matematici e dopo qualche anno, nel ’28, gli conferì con decreto della Repubblica di Pisa il titolo di “Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo”.
Durante le sue ricerche Fibonacci si interessò non solo alla matematica teorica, ma la intese anche in senso pratico, tanto che in diversi centri commerciali europei sorsero le cosi dette scuole d’abaco con la finalità di istruire i mercanti a risolvere i problemi pratici delle proprie attività commerciali. La moderna Economia ebbe il suo battesimo grazie a Fibonacci, Leonardo Bigollo!
La matematica secondo la concezione platonica non doveva essere usata dai bottegai per vendere e comprare, ma solamente per elevare la realtà alle verità universali, invece, proprio le osservazioni di un “bottegaio”, hanno permesso di arrivare ad una verità che coinvolge la struttura stessa dell’Universo: la successione ...: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54, 89…. nella quale ogni termine, a parte le prime due cifre, risulta essere la somma dei due numeri che lo precedono.
Questa serie numerica è ubiquitaria ed è stata individuata nel porsi una semplice domanda che riguardante i conigli, notoriamente sono molto dediti alla procreazione:
“Quo paria conicularum in uno anno ex uno pario germinatur?” Quante coppie discendono in un anno da una coppia di conigli?
Per rispondere a questa domanda una coppia di conigli fu rinchiusa in un recinto per evitare tradimenti e… inquinamenti di DNA esogeno.
Poiché le coppie di conigli generano ogni mese un’altra coppia, che comincia a procreare dal secondo mese dalla nascita; la prima coppia si riproduce nel primo mese, pertanto nel primo mese le coppie saranno due. Di queste la prima coppia nel secondo mese ne genera un’altra: quindi nel secondo mese nel recinto ci saranno tre coppie. Di queste, durante il mese, due si riprodurranno e nel terzo mese genereranno due coppie, quindi nel terzo mese ci saranno cinque coppie di conigli. Di queste, durante il mese, tre si riproducono in modo che nel quarto mese ci sono otto coppie; di queste al quinto mese ne generano cinque, che aggiunte alle otto coppie esistenti fanno tredici coppie…… in pratica abbiamo sommato il primo numero con il secondo, cioè 1 e 2, il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, sino ad arrivare al decimo con l’undicesimo, cioè 144 con 223 ottenendo 377 coppie di conigli in un anno. Questa fu la risposta data da Leonardo Fibonacci. Ma questa successione, che da lui prede nome, possiede numerosissime proprietà di enormemente interessanti [19].
La progressione di Fibonacci è una relazione relativamente semplice e ripetitiva: qualunque termine è uguale alla somma dei due precedenti! Questa semplice verità, quasi banale, ci evidenzia una seconda e più importante verità che dobbiamo considerare: il rapporto tra i due termini contigui è, dal punto di vista matematico una funzione ricorsiva, cioè è definita in termini della funzione stessa dimostrando di essere un frattale, perché presenta una evidente autosomiglianza.
Il manifestarsi della serie di Fibonacci e la costanza dell’angolo Aureo sono il risultato di un processo di crescita governato sicuramente da un meccanismo di feedback. Qualunque sia la natura biochimica di questo processo, questo rispetta sempre la legge della proporzione aurea: l’angolo aureo e la serie di Fibonacci, schemi della crescita spiraliforme delle piante rappresentano effettivamente una legge universale. La crescita delle piante avviene in corrispondenza dell’apice del fusto dove si trova il meristema, tessuto giovane capace con intensa capacità proliferativa.
Questo accrescimento schematico non si limita al regno vegetale, ma è ubiquitario. Lo sviluppo delle forme elicoidali frequenti nell’accrescimento biologico: dall’avvitamento del DNA alle forme convolute delle corna ed alla struttura delle conchiglie ed è stato chiarito solo recentemente da una semplice equazione [20], che dimostra la possibilità di modificare una struttura da bidimensionale a tridimensionale complessa. Del resto Robert May [21] sin dal 1976 aveva predetto che l’applicazione ripetitiva di semplici regole poteva condizionare lo sviluppo di fenomeni complessi. Anche la coclea, parte essenziale dell’organo dell’udito, che permette di relazionaci col mondo anche al buio, ha una forma strutturata a spirale simile a quella di una chiocciola. Si era supposto che questa forma elegante, selezionata durante l’evoluzione, fosse il risultato di un risparmio di spazio; pare invece sia dovuta al miglioramento della capacità uditiva: l‘energia delle vibrazioni sonore captate dalla membrana timpanica e trasmesse da una serie di minuscoli ossicini al fluido denso che riempie la coclea avvolta a spirale, si accumula maggiormente all’esterno della struttura e non uniformemente; le frequenze basse sono quelle che compiono il viaggio più lungo nella spirale per cui l’effetto vibratorio risulta accentuato [22]. Analogamente a come i suoni si propagano nella cattedrale londinese di St. Paul, dove quelli deboli e fiochi possono essere uditi a distanza rimbalzando lungo la parete circolare senza esaurirsi.
La strutturazione della coclea, che segue le leggi della sezione aurea, ci dimostra che: "l'orecchio è stato creato dal suono, come l'occhio dalla luce" [23]. Piccoli particolari che ci documentano come queste strutture biologiche, come tutte, vegono determinate per necessità da meccanismi autoregolativi (!), tutti vincolati da regole matematiche insite nella struttura chimica, condizionanti la proliferazione e l’accrescimento tissutale. Numerosissime conchiglie studiate sin dall’ottocento dimostrano che l’accrescimento segue la spirale logaritmica derivante dalla relazione esistente tra i numeri di Fibonacci. L’esempio più armonioso é quello del Nautilus, tenuto nella mano dello Shiva danzante degli indù, e considerato per quella religione, uno dei simboli della creazione! Il cefalopode vive dentro una conchiglia divisa in camere stagne, che vengono riempite o svuotate a seconda della necessità di galleggiamento; il guscio presenta in sezione una perfetta spirale logaritmica suddivisa in una serie di compartimenti separati da setti trasversali: il mollusco vive solo nella camera più esterna e sviluppa la conchiglia giorno dopo giorno, segnalando la crescita quotidiana con una scanalatura. E, dopo ogni mese, dopo ogni ciclo lunare, dopo trenta scanalature chiude la sua dimora, occupata per trenta giorni, e si trasferisce nella nuova dimora più esterna, costruendola come un solerte muratore e continuando la sua quotidiana fatica. Ogni conchiglia porta la firma del tempo seguendo il calendario lunare. Le conchiglie del Nautilus, mollusco apparso sul nostro pianeta da miliardi di anni sono state rinvenute in giacimenti fossili risalenti a 2,8 miliardi di anni fa, sono simili alle attuali, ma presentano tra ciascun setto 17 scanalature anziché 30, indicandoci che il ciclo lunare allora era di 17 giorni. Infatti la Luna in passato era più vicina alla terra e compiva il suo periplo a maggior velocità: invece degli attuali 29 giorni 12 ore, 44 minuti e 3 secondi, 2,8 miliardi di anni fa, ne impiegava 17, mentre 45 milioni di anni fa il ciclo lunare era di 29,1 giorni. Questo continuo rallentamento del ciclo lunare è causato dal progressivo allontanamento del nostro satellite, dimostrato anche recentemente calcolando il tempo occorrente a fasci di luce laser a percorrere la distanza terra-luna e ritorno, dopo aver colpito gli specchi nella luna portati dagli astronauti; la ricerca ha dimostrato con estrema precisione che in effetti il nostro satellite si allontana dalla Terra di 3,5 centimetri all’anno [24]. La Luna giustamente continua a separarsi da questa nostra Terra, e, tra i tanti effetti, farà sì che i nostri discendenti (se esisteranno) non potranno avvertire la meraviglia di veder oscurare completamente il Sole, durante l’eclissi totale, perché il diametro della Luna risulterà inferiore a quello del Sole!
Ecco come la conchiglia del Nautilus, simbolo per l’Induismo della creazione, ci racconta la storia astronomica del passato e ci dimostra anche che la conoscenza è il frutto di connessioni cognitive con una rete che utilizza i più svariati ed imprevedibili percorsi! Il fascino e la bellezza che una spirale [25] emana è in relazione al rapporto aureo, che abbiamo visto rappresenta il fondamento di un ordine simmetrico ed universale. In un rettangolo aureo, se inscriviamo un quadrato, che ha per lato il segmento maggiore del rapporto aureo e accanto disegniamo un altro quadrato che abbia per lato il segmento iniziale più lungo e reiteriamo questo disegno a mò di puzzle con quadrati sempre maggiori, ma con dimensioni che rispettino il relativo segmento maggiore, e disegniamo un segmento di cerchio che abbia per raggio il segmento dei rispettivi quadrati, formeremo una spirale logaritmica. I diversi raggi della spirale formano con il segmento curvo un angolo sempre identico per cui Cartesio definì la spirale equiangola!
E’ quasi incredibile che quella verità espressa da Euclide trecento anni a.C.: ”Il tutto sta ad una parte come la parte sta alla restante” possa inserendosi in contesti diversi arrivare non solo alle forme dei vortici, uragani, conchiglie, ma anche al volo dei falconi, che durante la velocissima picchiata per catturare al volo la preda utilizza una traiettoria che ripete la spirale logaritmica e non un percorso rettilineo che potrebbe essere più breve e pertanto più veloce; non lo fa perché la sua visione frontale non gli permette vedere ed osservare i movimenti della preda, almeno ché non ruoti la testa e conseguentemente riduca la velocità e la precisione della presa. Ecco come la mirabile rete matematica riesce a condizionare anche il nutrimento dei falconi e l’eliminazione di una ignara preda. In questa situazione vi è una base matematica a cui si associa, sovrapponendosi, la contingenza, i due pilastri del mondo complesso.
La spirale logaritmica rappresenta in campo microscopico anche il disegno strutturale dei foramiferi [26]: dalla disposizione elicoidale delle foglie, dei semi e dei petali, degli uragani e dei cicloni, sino a raggiungere quel centinaio di miliardi di galassie, quelle enormi formazioni chiamate “Universi Isola”, composte da gas, polvere interstellare e stelle, che danno forma a quelle meravigliose spirali stellari!
La rete matematica che avvolge l’Universo intero e rappresenta il substrato della realtà e si manifesta anche nel nostro piccolo sistema solare: le distanze dei pianeti interni distano dal Sole rispettando le proporzioni della successione numerica di Fibonacci: Mercurio 1, Venere 2, Terra 3, Marte 5 e lo stesso comportamento si evidenzia in quelli esterni a Giove: Saturno 1, Urano 2, Nettuno 3 e Plutone 5. Ed è recente la dimostrazione che indagando gli effetti della meccanica quantistica su scala atomica un gruppo di ricercatori di Oxford hanno evidenziato una simmetria causata da effetti quantistici sugli atomi di un cristallo, il niobato di Cobalto (CoNb2O6), portato a temperatura prossima allo zero assoluto, applicando un intenso campo magnetico perpendicolare agli spin degli elettroni delle catene atomiche; nel sistema, raggiunto uno “stato quantistico critico”, è possibile misurare “i modi di vibrazione” che obbediscono a relazioni matematiche tipiche della simmetria E8 [27], usata attualmente in fisica teorica per la formulazione delle Stringhe e della Supergravità. Studiando in dettaglio le vibrazioni di queste catene monoatomiche hanno trovato che il rapporto fra le frequenze delle prime due note è di 1,618 , rapporto aureo [28]!
Siamo partiti da un semplice rapporto stabilito su di una retta, abbiamo osservato il comportamento riproduttivo dei conigli e, passando tra i fiori, ascoltando la musica ed anche la vibrazione degli atomi, studiando la natura, siamo arrivati alle stelle. La conoscenza di questo percorso ha dell’incredibile! E ci dimostra che la realtà è strutturata da una rete matematica.
[1]
Secondo Tullio De Mauro: trecentomila anni rappresenta una buona datazione
intermedia, ma, il grande interesse è l’esplorazione in termini
genetico-evolutivi delle precondizioni che reggono e regolano la vita del
linguaggio verbale.
[4] Euclide(sec III a.C.) Matematico
greco. Dopo aver studiato probabilmente ad Atene, fondò ad Alessandria una scuola
cui fecero riferimento per due millenni matematici e geometri. Sua è l’opera
scientifica più famosa dell’antichità: i 13 libri degli Elementi. Alcune
proposizioni geometriche portano tutt’oggi il suo nome. I teoremi di E. sono
relativi ai triangoli rettangoli: il primo afferma che il quadrato costruito su
un cateto equivale al rettangolo dell’ipotenusa e della proiezione normale del
cateto stesso sull’ipotenusa; il secondo che il quadrato costruito sull’altezza
relativa all’ipotenusa equivale al rettangolo delle proiezioni normali dei
cateti sull’ipotenusa. Il 5° postulato di E. o delle rette parallele, secondo
cui per un punto in un piano si può condurre una e una sola retta parallela a
una retta data.
[6] Fidia
(490 - 431 a .C.)
Scultore greco, massimo rappresentante dell’arte classica. Scarse e incerte le
notizie sulla sua vita: amico personale di Pericle, avrebbe subìto un processo
per appropriazione indebita di oro destinato alle opere pubbliche (o per
empietà). Attivo soprattutto ad Atene e a Olimpia, era nell’antichità ammirato
per le sue statue colossali crisoelefantine, in particolare lo Zeus di Olimpia
(13 m ) e
l’Atena Parthénos per il Partenone di Atene (10 m ), ricostruibili
attraverso descrizioni letterarie e monete.
[9]
Keplero, Giovanni (Johannes Kepler (1571 - 1630) Astronomo tedesco. Studiò
filosofia, matematica e astronomia a Tubinga; osservò la grande cometa del
1597, la supernova del 1604 e le macchie solari (che gli permisero di scoprire
la rotazione solare). Allievo (1600) e quindi successore di T. Brahe a Praga,
fu convinto assertore del modello copernicano. Grazie alle sue osservazioni e a
quelle su Marte di Brahe, arrivò a formulare le tre leggi sul moto dei pianeti,
che contribuirono all’affermazione del modello eliocentrico e che servirono a
Isak Newton per dedurre la legge della gravitazione universale.
[10] Le
sette meraviglie del mondo antico, oltre il faro di Alessandria. sono: la
piramide di Cheope a Giza, il mausoleo di Alicarnasso, il colosso di Rodi, i
giardini pensili di Babilonia, il tempio di Artemide ad Efeso, e la statua di
Zeus ad Olimpia (HHp://merveilles.free.fr/index).
[11] ( 1,6180339887….), numero irrazionale con infinite cifre decimali prive di qualsiasi sequenza ripetitiva.
[12] Fu
Mark Barr, matematico americano a proporre il simbolo Ф per indicare il
rapporto aureo.
[13]
Platone (427 - 347 a .C.)
Filosofo greco. Di educazione aristocratica, fu discepolo di Socrate (408-399)
e suo grande ammiratore. Dopo aver viaggiato a lungo (Egitto, Cirenaica),
soggiornò per qualche tempo a Siracusa alla corte di Dionigi il Vecchio.
Scacciato da Siracusa, tornò ad Atene dove fondò una importante scuola
filosofica (l’Accademia). Muovendo dal pensiero di Socrate sviluppò un
complesso sistema filosofico fondato sulla cosiddetta “dottrina delle idee”,
secondo la quale esiste un mondo: l’iperuranio in cui risiedono le forme ideali
(universali, necessarie, eterne) delle cose reali (particolari, contingenti,
transitorie), che delle prime sono la pallida copia. Il mondo delle idee è il
mondo dell’essere e del bene, mentre il mondo sensibile (in cui le cose
semplicemente partecipano delle idee corrispondenti) è sintesi di essere e
non-essere.
[14]
Pacioli, Luca (1445 - 1514) Matematico. Francescano, compilò un fondamentale
compendio generale di aritmetica, algebra, calcolo delle probabilità,
raccogliendo tutta la scienza matematica dell’epoca ("Summa de arithmetica,
geometria proportioni et proportionalità", 1494). Nel trattato "De divina
proportione" del 1503, illustrato da Leonardo da Vinci, il Pacioli ricercò nella proporzione
dei numeri i principi ispiratori in architettura, natura e scienza: la regola
aurea introdotta fu in seguito chiamata praxis italica.
[15]
Fibonacci, Leonardo (detto Leonàrdo Pisàno o Bigòllo) (1175 - 1240) Matematico.
Vissuto a lungo presso Algeri, assorbì la cultura aritmetica araba, che elaborò
e divulgò nel suo Liber abbaci (1202 ca), fondamentale sintesi della matematica
classica e di quella indiana e araba, considerata uno dei punti di partenza per
gli algebristi europei del rinascimento. In essa presentò il sistema di
numerazione posizionale indiano (detto poi arabo), trattò in modo compiuto la
teoria dei numeri interi e fratti, le progressioni, i radicali quadratici e
cubici (dimostrando l’impossibilità di ridurli alle forme classificate da
Euclide), corredando ogni esposizione con rigorose dimostrazioni e dovizia di
esempi. Nella Practica geometriae (1220), modellata secondo ispirazione
classica, introdusse per la prima volta il segmento come unità di misura,
ripreso poi da R. Bombelli e da R. Cartesio nella definizione della geometria
cartesiana.
[16]
“Federico II di Svevia. L’Imperatore filosofo e poeta.” RCS Rizzoli Libri.
Milano .Ottava Edizione Superbur 2000
[17] Lo
zero è una creazione indiana (Suniya=Vuoto).In Arabo as-sifr = Termine latino
cifra e zefirum. Nel 300°a.C. i Babilonesi per indicare lo spazio vuoto: due
cunei rivolti con la punta in basso. Nelle tavole di Tolomeo e Giamblico (I
sec. a.C.) Ω = ouden = nulla. Gli Indiani lo appresero da Alessandro. Un primo studio
sullo zero si deve a Brahmaagupta nel 628 d.C. Gli Arabi appresero dagli
indiani il sistema posizionale decimale (Numeri arabi). Sifr = Vuoto.
Zephirum = Vento di ponente. Fibonacci Liber Abbaci (1202) Sifr> in Zefirum,
zvero = zero, sifr = Cifra.
[18] Anche
nella civiltà precolombiana i Maya usavano un sistema posizionale su base venti
e usavano un segno (un occhio) equivalente allo zero.
[19] Successione di Fibonacci , Successione di numeri
naturali costituita da 0, 1 e da termini successivi, ciascuno dei quali è dato
dalla somma dei due immediatamente precedenti ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...). Il
rapporto di due termini consecutivi della successione di Fibonacci tende al
numero aureo (5+1)/2 = 1,618...
[21] Robert May “Simple Mathematical models with
very complicated dynamics” Nature 261, 459-67, 1976
[23] "Musica ad Figuras" di
Emiliano Albani e Diego Pierpaoli. Edizione del Museo di arte Immanente di
Arquata del Tronto (AP)
[24]
Thuan Trinh Xuan “Il caos e l’armonia. Bellezze e asimmetria del mondo fisico”
pag. 58-59 Ed. Dedalo.
[25] Jacques Bernoulli fu così colpito dalla bellezza di
questa curva, che dedicò un trattato intitolato "Spira mirabilis" (la
spirale meravigliosa) a un particolare tipo di curva avvolta su se stessa (il
nome deriva dal modo in cui il raggio cresce ruotando in senso antiorario): la
spirale logaritmica. Una fondamentale proprietà che si ritrova solo in questa
particolare curva, è' che crescendo, non cambia forma. Questa proprietà è nota
come «autosomiglianza». Stregato da questa proprietà, Jacques Bernoulli
scrisse: «Può essere usata come simbolo sia della forza e costanza nelle avversità,
sia del corpo umano che, dopo tutti i cambiamenti, e perfino dopo la morte, è
restituito al suo preciso e perfetto Se».
[26] I Foraminiferi sono protozoi ameboidi
eucarioti eterotrofi marini. Abitano tutti gli ambienti marini. Comparvero nel
Cambriano e nel Fanerozoico invasero tutto l’ambiente marino, adattandosi a
molti modi di vita. Sono provvisti di un guscio, spesso mineralizzato, che può
raggiungere dimensioni eccezionali per un organismo unicellulare (fino a 11-14 cm di diametro). La
presenza di parti mineralizzate consente ai gusci dei foraminiferi di
fossilizzare con relativa facilità nelle rocce sedimentarie di origine marina.
[27] E’
la prima volta che in un materiale a livello quantistico viene evidenziata la
presenza della simmetria speciale E8, facente parte dei gruppi di simmetrie che
possono ricordare quella del cerchio.
[28] Coldea R. e Coll. Quantum
Criticality in an Ising Chain: Experimental Evidence for Emergent E 8 Symmetry.
Science 327, 177-180, 2010
