16 Musica e Matematica
E’ frequente che la musica e la matematica vengano associate sia per il piacere che procurano a chi le professa, sia per l’impegno intellettuale che entrambe richiedono e trasmettono a chi le comprendono; superando le analogie emotive ed affrontando le due discipline dal punto di vista tecnico è naturale che dalla musica emerga l’aspetto fisico-matematico: è ovvio che le variazioni dei rapporti delle frequenze e dei tempi ritmici vengano descritti in termini matematici, anche perché presentano uno stretto legame con la fisiologia dell’apparato uditivo e con i processi cognitivi che l’ascolto della musica produce.
La musica sin dai tempi dell’antica Grecia è stata sempre collegata alla matematica tanto da essere considerata una sua parte integrante; furono proprio gli studi di Pitagora a mettere in risalto questa associazione. Il matematico, dopo le sue peregrinazioni in oriente, ove sicuramente assorbì la cultura orientale sia in campo astronomico, mistico che matematico, fondò a Crotone la sua scuola. Dal primo libro del trattato in dieci volumi “Sul Pitagorismo: La vita di Pitagora” di Gianblico, filosofo greco di origine Siriana: “Un giorno, mentre Pitagora passava davanti ad un’officina di un fabbro, udì dei martelli che, battendo il ferro sull'incudine, producevano echi in perfetto accordo armonico tra loro, eccettuata una sola coppia. Egli riconobbe in quei suoni gli accordi di ottava, di quinta e di quarta e notò che l'intervallo tra quarta e quinta era in se stesso dissonante, ma tuttavia atto a colmare la differenza di grandezza tra i due. Tornato a casa, fissò un palo da angolo ad angolo diagonalmente in una stanza e vi appese quattro corde di uguale lunghezza materia e spessore, tese da pesi che avevano tra loro i rapporti dei martelli uditi in officina”. La sua sensibilità ed il suo acume avevano stabilito il tramite tra il suono, la musica e il mondo, tra l’arte e la realtà, intuendo la coincidenza tra musica, matematica e natura. Per Pitagora il numero è stato il modello originario di tutte le cose, principio fondante della sua teoria musicale e, insieme alle figure geometriche, intese come gli elementi nei quali i corpi sono definiti ed inscritti, costituendo nella sua perfezione ideale, l'ordine contenuto nell'universo.
Il significato aritmetico e geometrico risultano abbinati e unificabili, poiché la misura presuppone sempre una grandezza spaziale ordinata - e quindi geometrica - insieme al numero, che esprime la quantità. A tal proposito, la figura sacra: il Tetraktys [1], su cui i Pitagorici avevano l'abitudine di giurare, esprime il vero significato del numero pitagorico: il numero dieci, rappresentato come un triangolo, i cui lati sono composti da quattro punti e che complessivamente costituisce una disposizione geometrica espressa in numeri, che esprime essa stessa un numero.
Non a caso, nel sistema didattico del sapere medievale, la musica apparteneva insieme ad aritmetica, geometria e astronomia, al Quadrivium, ovvero al versante scientifico dello scibile.
Nel 1738 Lorenz Mizler, allievo di Bach, a Lipsia, fondò una società semisegreta per le Scienze Musicali, con l'intento di rivelare i legami esistenti tra la matematica e la musica, affermando che "la musica è il suono della matematica". Furono invitati ad associarsi a questa società prestigiosi musicisti con l’intento di riportare la musica alla sua origine pitagorica, alla sua intima essenza. Il blasone di questa società era costituito da un cerchio, simbolo di perfezione e da un triangolo, simbolo della Trinità, circondato da api, simbolo del lavoro. Per essere ammessi bisognava produrre una composizione musicale di natura matematica e presentare un ritratto. Nel 1747 Johann Sebastian Bach entrò nell’Associazione in qualità di 14° membro, consegnando, insieme al ritratto ad olio richiesto [2], le Variazioni canoniche sul tema "Vom Himmel Hoch da komm ich er".
Nei brani musicali, all’interno di ogni melodia, esiste spesso una complessa impalcatura di rapporti precisi costituita da proporzioni, sezioni auree e teoremi, perché anche l’armonia e gli accordi sottostanno alle regole matematiche dello spazio geometrico: la ragnatela strutturale dell’Universo pervade ed incorpora anche la musica; infatti Leibniz [3] la considerava un segreto matematico ed i musicisti manipolatori inconsci dei numeri!
Mozart [4] amava il suono del diapason e della glass-harmonica, strumento formato da coppe di cristallo, che, accordate a secondo della quantità d’acqua contenuta, producevano un suono purissimo quando un dito inumidito veniva fatto scorrere sul bordo del bicchiere. Il suono che si produce è puro e cristallino. I fisici chiamano questo suono onde sinusoidali ed è puro perché e senza armoniche, intendendo per armoniche altre onde le cui frequenze sono diversi multipli della frequenza fondamentale. Le armoniche sono quelle frequenze che caratterizzano i singoli strumenti musicali. Io le definisco il profumo delle note.
La realtà può essere esplorata tramite piani cognitivi diversi: sin dall’antichità fu evidenziato lo stretto rapporto che intercorre tra musica e matematica; la scuola pitagorica aveva chiarito che i differenti toni di una scala musicale sono espressione dei rapporti tra numeri interi: la metà di una corda vibra e produce un’ottava superiore, se ridotta a tre quarti la quarta, se ridotta a due terzi la quinta. Oggi sappiamo che la stessa divisione ritmica musicale è espressa da una frazione matematica e che qualunque suono può venir rappresentato da una funzione matematica (la trasformata di Fourier [5]).
Nel nostro secolo il legame tra musica e matematica è stato riscoperto con la musica dodecafonica e successivamente inserita nella musica elettronica non commerciale. Con l'aiuto della tecnologia e del computer, sono stati impiegati strumenti sofisticati per analizzare il suono. Nei laboratori di ricerca, con una metodologia matematica denominata "trattamento del segnale", si realizza la sintesi di sonorità artificiali, che rappresentano nuove forme sonore, al di fuori dell’utilizzo delle note senza strumenti musicali. La creazione e rielaborazione di queste sonorità diventano parte integrante di nuove composizioni musicali.
La recente frontiera della musica contemporanea si ispira egualmente alla matematica: agli algoritmi della geometria frattale [6], che rappresenta la sua forma più recente. Esistono inoltre dei software che permettono di associare al suono immagini dei frattali corrispondenti con risultati a volte stupefacenti, ma una cosa è certa: la natura si esprime in forme infinite, tutte da assaporare, documentando la ragnatela dinamica di cui la matematica costituisce l’essenza.
Recentemente Dmitri Tymoczko [7] dell’università di Princeton ha assimilato le melodie e gli accordi a punti e linee di uno spazio matematico: “orbifold”. Se le linee risultano simmetriche per traslazione, riflessione o permutazione gli accordi sono assonanti, in caso contrario dissonanti!
Tra l’arte e la natura è sempre esistito uno stretto legame: la realtà e l’universo hanno sempre meravigliato l’uomo ed hanno condizionato ed ispirato poeti, scrittori e musicisti. Questo delicato, ma forte legame è stato fisicamente dimostrato tramite la matematica, che ha stabilito un ponte tra le stelle e la musica: l’astrofisico Zoltan Kollath ed il compositore Jono Keuler [8] come tanti ungheresi, popolo propenso agli studi matematici ed utilizzatori illustri della matematica, per la loro musica hanno trasformato e tradotto le variazioni luminose delle stelle in spartiti, modificando in melodia lo scintillio degli astri, che per alcuni già rappresentano una musica per il loro animo. L’armonia della realtà è stata dimostrata anche a livello molecolare dalla biologa Mary Anne Clark e dall’artista algoritmico John Dunn della Texas Wesleym University utilizzando le sequenze geniche dell’uomo e di altri mammiferi come base musicale per le loro canzoni a dimostrazione del forte e delicato legame esistente tramite la matematica anche tra musica e microcosmo.
Alla melodia sono state collegate anche le strutture biologiche: la giovane biologa e pianista Rie Takahashi della Los Angeles University è riuscita a mettere in relazione la struttura delle proteine alla musica; un analogo tentativo era stato tentato abbinando la sequenza del DNA alle note musicali, ma l’effetto fu estremamente deludente e cacofonico [9]. La Takahashi invece ha superato la difficoltà dovuta alla differenza tra venti, che è il numero degli amminoacidi, e le tredici note, adottando lo stratagemma di abbinare non una, ma tre note a ciascun amminoacido. Il ritmo è scandito dalla ripetizione dello stesso amminoacido esistente nella catena proteica e la durata del suono dipende da quante volte è presente nella sequenza. Con queste semplici regole e con l’aiuto di un programmatore è stato allestito un software che riesce a tradurre automaticamente le sequenze degli aminoacidi presenti nelle diverse proteine in strabilianti e gradevoli armonie. Un dato certamente interessante è la segnalazione che la proteina anomala, coinvolta nella corea di Untington [10], produce un effetto sonoro simile ad un disco che si “incanta”!
Ma noi come percepiamo la musica? Come riusciamo a misurare organicamente il grado di assonanza o di dissonanza e ad anticipare mentalmente la direzione della prosecuzione o della sua risoluzione nell’ambito dell’armonia musicale?
Queste le domande che si è posto Richard Merrich [11] teorico della musica, pianista e scrittore che recentemente sta preparando il libro: “Interference: A Grand Scientific Musica Teory”.
Lo studioso utilizzando un ampio ventaglio di ricerche scientifiche che spaziano tra la musica, la neurofisiologia , l’acustica e la fisica quantistica, ha elaborato la teoria dell’interferenza armoniosa per spiegare come e in che modo percepiamo la musica. Il punto nodale del suo ragionamento consiste nel considerare l’equilibrio tra risonanza e smorzamento come avviene durante la vibrazione di una corda vibrante e analogamente la percezione del suono e della musica, che trovano corrispondenza innata tra la geometria armonica del suono e le strutture anatomiche atte a percepirlo, cioè tra le qualità musicali di assonanza e dissonanza definibili matematicamente e potenzialmente visualizzabili geometricamente come strutture cristalline o quasicristalline.
Questo ragionamento riprende una domanda, che molti, e per tanti come esempio cito Einstein, si è posto: “come la nostra mente, al di là del freddo ragionamento deterministico, è capace di prevedere matematicamente le strutture del cosmo e l’Universo stesso. Come la matematica, che per alcuni è puro ragionamento dell’Uomo, esiste al di là dell’essere scoperta per chiarire la realtà? In definitiva come esiste l’assonanza tra il mondo interno della mente e la realtà? Forse la fisica quantistica riesce a proporre una realtà coerente in cui le onde armoniche si cristallizzano nella materia all’interno di uno spazio cubico polarizzato. La funzione d’onda di Schroedinger rappresenta un altro modo per descrivere la struttura armonica dello spazio!
A questo punto penso sia utile aprire una parentesi esplicativa ricordando il principio di indeterminazione di Heisenberg [12] formulato nel 1927, essenza della fisica quantistica, che recita: “non è possibile conoscere contemporaneamente con certezza la quantità di moto e la posizione di una particella”. La conseguenza è che non ha più senso parlare di elettroni, che ruotano intorno al nucleo atomico su orbite precise a cui compete una certa energia, perché è impossibile definire simultaneamente con esattezza la posizione (l’orbita) e l’energia (la velocità) della particella. Il nuovo tipo di meccanica: la meccanica quantistica o meccanica ondulatoria di E. Schrödinger [13] fornisce una descrizione più soddisfacente dei sistemi atomici. In questa teoria le leggi ordinarie del moto vengono sostituite da equazioni che esprimono la probabilità.
Infatti l’Equazione di Schrödinger, sviluppata soprattutto da de Broglie e Schrödinger,cerca rappresenta una delle più importanti conquiste della fisica e soprattutto della meccanica quantistica, basandosi sull'approccio ondulatorio; fu in seguito l'esperimento di Davisson–Germer[14] a confermare l'ipotesi di de Broglie[15], ovvero che le particelle, come gli elettroni, presentano un comportamento ondulatorio. Ecco come la funzione d’onda di Schroedinger può rappresentare un altro modo per descrivere la struttura armonica dello spazio! E giustificare l’assonanza tra la nostra mente, il nostro mondo interno e la realtà.
Nei secoli passati le ricerche traevano origine dall’osservazione dei fenomeni e dalle sperimentazioni da cui si ricavavano le leggi generali, ma, sin dal secolo scorso la ricerca si è separata dall’osservazione: sono i principi matematici che vengono inizialmente formulati e utilizzati per stabilire modelli teorici e la costruzione di strumenti da cui, se il costrutto deduttivo è corretto, si arriva alla dimostrazione della verità sottesa.
Se questi elementi, che qui ho brevemente riassunto, non vi hanno ancora convinto, cioé che la matematica sia un tutt’uno con la realtà, come giustificare allora quel numero universale ancora poco conosciuto che esprime il rapporto che appare nei diagrammi di biforcazione dei sistemi studiati dalla teoria del caos? Era l’anno 1975 e il giovane fisico-matematico Mitchell Feighenbaum, esaminando diverse semplici equazioni, si accorse che il numero 4,669…….. [16] emergeva e si ripeteva costantemente sulla sua vetusta calcolatrice HP-65 indicando esattamente il punto di transizione tra l’ordine ed il caos, tra le dinamiche ordinate e quelle caotiche; e, come spesso accade nella ricerca, questa costante non fu presa in considerazione, ma i fatti dimostrarono che questo numero emerge in qualsiasi contesto, ad esempio quando l’elio liquido viene riscaldato dal basso, come compare nella transizione di un fluido dal flusso ordinato a quello caotico turbolento, banalmente evidenziandosi nel comportamento che tutti abbiamo notato quando il flusso dell’acqua, che fuoriesce da un rubinetto, da essere uniforme e silenzioso si modifica in un irregolare gocciolio!
Un ulteriore esempio di interazione tra matematica e realtà fisica è fornita dalla teoria dei nodi [17], che dopo decenni dalla sua formulazione passò nel dimenticatoio per essere in seguito utilizzata e valorizzata per lo studio della struttura molecolare del DNA e, udite gente, per la discussa teoria delle stringhe [18]!
Banalmente a questo proposito mi vengono in mente le scarpe particolari fatte da un calzolaio, utilizzate per scalare una vetta, essenziali all’alpinista per scoprire una vena aurifera sulla liscia parete rocciosa! E’ una sorta di battito d’ali della farfalla che condiziona tutte le dinamiche del mondo.
La matematica ha tratto origine e si è arricchita grazie a due fonti principali: la prima è la realtà naturale e l’altra è l’astrazione del pensiero logico; queste due basi, agendo all’unisono, porgono alla disciplina il potere di addentrarci nei misteri che ci avvolgono.
Il fisico teorico Dirac [19] per primo nell’epoca moderna associò al concetto di "bellezza matematica" il ruolo preminente tra gli aspetti instrinseci della natura, tanto da sostenere che "una teoria che possiede una bellezza matematica ha più probabilità di essere giusta e corretta di una teoria sgradevole, che venga confermata dai dati sperimentali" [20]. Aggiungendo: “Il matematico è impegnato in un gioco di cui si scrive da solo le regole, mentre il fisico gioca con le regole fornite dalla natura. Ma con il passare del tempo appare sempre più evidente che le regole che il matematico rileva sono le stesse utilizzate dalla natura”. La scienza pura e quella applicata si completano a vicenda; non sono due poli separati, ma gli estremi di uno spettro continuo di pensiero. Come la matematica e l’Universo.
Il passato, presente, futuro e la struttura stessa del nostro Universo vengono condizionati da semplici rapporti esistenti tra le forze profonde: le costanti universali, che sono espresse da sei numeri! Non un filo d’erba, non un bagliore di una stella, né il calore del nostro sole potrebbero esistere all’infuori di questa magica combinazione matematica, che ha reso possibile l’esistenza della materia, delle forze e delle dinamiche esistenti. Questa rete matematica è frutto di un calcolo metafisico o, come aveva prospettato Giordano Bruno, finendo poi sul rogo [21] (!) è una delle infinite possibilità, che avrebbero potuto determinare l’esistenza di infinite esistenze e di infiniti mondi? O esiste perché esiste, perché è l’essenza del mondo? Sono problemi fisici e metafisici, che comunque abbiamo il dovere di porci, con la speranza di fondo di riuscire ad interpretarli ed a risolverli, però senza il timore di essere arsi vivi [22]! E’ comunque da segnalare, a questo proposito, che recenti calcoli statistici, basati sulla dinamica quantistica fanno prospettare l’esistenza di 10.800 universi esistenti [23].
E chissà se le regole sono le stesse!
Ma quali sono i numeri, che condizionano l’Universo[24]?
In primis il numero delle particelle contenute nel nostro Universo (N = 1036), numero che è condizionato dalle loro stesse forze interattive e dalla forza di gravità, che su di loro agisce.
Il secondo numero: (ε = 0,007) indica l’intensità del legame, che condiziona l’unità dei nuclei atomici e vincola le diversità atomiche esistenti, rendendo possibili le loro diversità[25].
Il numero cosmico (Ω), che è il terzo numero dell’Universo, misura la quantità di materia ed è in relazione sia alla gravità che all’energia dell’espansione dell’Universo, equilibrando l’esistenza stessa dell’Universo: se fosse minore non si sarebbe potuto formare, mentre il suo attuale valore condiziona la sua espansione attuale e la sua “vivibile”esistenza.
Il quarto numero (λ) quantifica la forza definita “dell’antigravità cosmica”, prospettata recentemente solo otto anni fa e che pare controlli anch’essa l’espansione dell’Universo; questa forza non possiede alcun effetto percepibile a scala inferiore ad un miliardo di anni luce (!).
Il quinto numero (Q 1/100.000) rappresenta il rapporto fra le due fondamentali energie[26] se fosse minore l’Universo sarebbe privo di struttura, inerte, se maggiore, l’Universo sarebbe un insieme caotico, dominato da grandi buchi neri.
Il sesto Numero è noto da secoli (D = 3) E’ il numero delle tre dimensioni spaziali; esiste sì il tempo, come quarta dimensione, la “dimensione dimenticata di Prigogine”; questo padre della complessità ha affermato che l’universo è immerso in una trasformazione unidirezionale in un contesto asimmetrico che può essere esplicitato dalla “freccia del tempo”. Per le leggi del moto il tempo può essere orientato in avanti o all’indietro senza determinare alcuna variazione, mentre i fenomeni naturali sono irreversibili; il concetto del tempo unidirezionale è stato sancito dalla termodinamica o meglio dal secondo principio della termodinamica. In vicinanza di un buco nero la luce si muove circolarmente ed il tempo si ferma, mentre nei primissimi istanti dal Big-Bang, non sappiamo se il tempo esisteva, ma sappiamo che lo spazio rivela la sua più profonda struttura di base: le vibrazioni e le armonie delle superstringhe in un concerto multidimensionale di dieci dimensioni (!). Sempreché la teoria delle stringhe sia valida!
Ma la più radicale tra tutte le teorie e le ipotesi evolutive dell'universo è stata formulata dal fisico Lee Smolin [27] (VII), secondo cui gli universi continuamente nascono ed evolvono, ciascuno con le sue leggi, determinate da una sorta di selezione darwiniana universale: "L'immagine dell'universo-orologio con regole fisse e immutabili - spiega Smolin - non funziona. L'universo è come la città. Nessuno l'ha costruita, l'abbiamo fatta tutti insieme: appartenerle ed essere uno dei suoi artefici è esattamente la stessa cosa. Una città non presuppone un artefice, un Dio orologiaio che abbia pensato e attuato le regole: essa si fa da sé. E così è il cosmo, costruito dai suoi stessi elementi in un processo evolutivo". I buchi neri, per Smolin, sono il mezzo attraverso cui si riproducono gli universi, i quali non si evolvono a caso, ma secondo una sorta di selezione darwiniana, che premia quelli più ricchi di strutture. Vengono a mente le impressioni di Enghels [28] quando, a proposito della città di Manchester durante il caos industriale, fu colpito da una strana e autonoma forma di ordine che presiedeva lo sviluppo della città. Sviluppo che teneva conto sia del divenire tumultuoso in atto, che della struttura topografica di base.
Recentemente i fisici teorici Paul J. Steinhardt e Neil Turok in “Universo senza fine” [29] presentano un nuovo modello cosmologico, affrontando il Big Bang non come un momento germinale nella storia dell'universo, ma come un passaggio nell'infinita serie di collisioni tra il nostro e un universo parallelo; Un "universo ciclico" il cui modello si avvale dei più recenti sviluppi nella ricerca sulla fisica delle particelle e della teoria delle superstringhe.
Recentemente con il telescopio a raggi X della Nasa “Chandra”, in un’esplorazione da poco terminata, sono stati identificati 1300 buchi neri “supermassivi”(milioni o miliardi di volte più grandi del nostro sole) distanti dalla terra tra i 6 e gli 8 miliardi di anni luce; questa scoperta ci induce a porci la domanda se sono nati prima i buchi neri o le galassie!
[1] Tetrakis, figura geometrica, basata sul numero 4, il numero divino secondo la loro visione. La Tetrakis era un triangolo in cui ogni lato è formato da 4 punti. Il vertice in alto rappresentava il numero 1, la creazione. La base costituita da quattro punti rappresentavano la molteplicità. La Tetrakis rappresenta il numero 10, somma di 1+2+3+4.
[2] realizzato da Elias Gottlob Haussmann
[3] Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) filosofo, scienziato, matematico e glottoteta, diplomatico, giurista, storico e bibliotecario tedesco, di probabile origine slava.
[4] Wolfgang Amadeus Mozart (1756 – 1791) compositore e pianista austriaco annoverato tra i geni della musica.
[5] Nella teoria dei segnali, la trasformata di Fourier è lo strumento che permette di scomporre un segnale generico in una somma di sinusoidi con frequenze, ampiezze e fasi diverse.
[6] I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta.
[7] Ha ideato il metodo per traslare il linguaggio delle note in quello della geometria contemporanea. “The Geometry of Musical Chords”. Science, 313, 2006 and Science, 320, 2008
[8] Profilo musicale di myst1 – Utenti di Last.fm. Jeno Keuler & Zoltan Kollath – Stellar Music No. 1.
[9] Genome Biology 2007
[10] Ricordo che la malattia di Huntington è una malattia degenerativa del sistema extrapiramidale, che rientra nel capitolo delle sindromi ipercinetiche e ha preso il nome dal medico George Huntington che la descrisse nel 1872. Tale patologia ereditaria si presenta attorno ai 40-50 anni con disturbi del movimento, fra cui còrea (dal greco, danza), disturbi cognitivi e del comportamento.
[11] La soppressione dell’antica scienza armonica. Nexus New Times. Ed. Italiana XV, 80, Giugno-Luglio, pg. 47. 2009
[13] Famoso per il suo contributo alla meccanica quantistica, in particolar modo per l'Equazione di Schrödinger nella quale le particelle vengono rappresentate attraverso le così dette funzioni d'onda,,. Schroedinger vinse il Premio Nobel nel 1933.
[14] Davisson C. J. and Germer L. H. "Reflection of electrons by a crystal of nickel", Nature, V119, pp. 558-560 (1927)
[15] Louis-Victor Pierre de Broglie, è stato un matematico e fisico francese, vincitore del Premio Nobel per la fisica e accademico di Francia.
[16] In seguito calcolato: 4,66920160910299067185320382
[17] Un nodo matematico è una curva chiusa, come un nodo di una corda i cui estremi sono uniti.
[18] Teoria proposta nel 1984 da Edward Witten, Michael Green e John Schwarz.
[19] Annoverato tra i fondatori della fisica quantistica ricevette nel 1933 assieme a Schrödinger il premio Nobel per la scoperta di nuove forme della teoria atomica".
[20] "Le Scienze” (Scientific American), 299, pag.76-82, luglio 1993
[21] Il 17 febbraio 1600, Giordano Bruno moriva bruciato vivo sul patibolo dell’inquisizione romana a Campo di Fiori, perché partigiano della teoria eliocentrica di Copernico e perché considerava plausibile l’esistenza di altri universi.
15 Sembra che attualmente questo pericolo per noi “pecorelle”non esista più! Sembra che i prelati della Chiesa Cattolica accettino la possibilità dell’esistenza i altri universi. Intervista realizzata da David Murgia a Padre Balducci.”Il Tempo” 19 gennaio 2003
[23] Il nostro Universo. Geoff Brumfiel1 Nature 439, 10-12 (5 gennaio 2006)
[24] Martin Rees “I sei numeri dell’Universo”. Le forze profonde che spiegano il cosmo: Rizzoli RCS Libri 2002 S.p.A Milano. Traduzione di “Just six numbers”.1999
[25] Tavola di Mendeleev. La tavola periodica degli elementi è lo schema con il quale vengono ordinati gli atomi sulla base del loro numero atomico.
[26] Nucleare forte e gravitazionale.
[27] Lee Smolin è professore di fisica e membro del Center for Gravitational Physics and Geometry alla Pennsylvania State University. E' autore de “La Vita nel Cosmo”. Einaudi Ed. 1998
[28] Enghels Friedrich “The condition of the Working Class in England” Penguin New York 1987. Tradotto da Editori riuniti, Roma. 1992
[29] Universo senza fine. Oltre il Bing Bang. Il Saggiatore S. p. A. Milano 2008
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