17 Il mistero dei numeri primi
I numeri primi sono simili tra loro, come noi umani, ma non uguali; come tra noi, esistono numeri che posseggono qualcosa di particolare, di unico: sono i numeri primi. La loro unicità e la loro regola, è che sono divisibili solo per sé stessi e, come gli altri per uno, ma mai sono il risultato di connubi tra numeri comuni, mortali; il che li rende eterni, almeno ché il loro segreto non venga individuato come quell’unico punto dove la foglia, sospinta dal vento impedì al sangue del drago di bagnare la schiena di Sigfrido per renderlo invulnerabile. Quell’unico punto della schiena dove l’eroe fu trafitto ed ucciso nella foresta dei Nibelunghi.
Dell’esistenza e delle particolarità dei numeri primi si ha notizia negli Elementi di Euclide nel 300 a.C. Sin d’allora si enunciava che fossero infiniti e che ogni numero non appartenente al rango dei primi si genera solamente da un unico prodotto con un numero primo; del resto anche i mortali posseggono qualcosa di inspiegabile o di divino, e di unico: la loro origine.
Come gli atomi per la fisica i numeri primi rappresentano i mattoni per la matematica: non derivano da altri, ma li producono tutti. Nell’Universo razionale della matematica i numeri primi, cioè divisibili solo per se stessi e per 1 si susseguono con un ritmo inafferrabile apparentemente illogico: 2, 3, 5, 7, 11, 17 19, 23, 29, 31 ….. Sembra quasi che la natura li abbia scelti a caso o forse per rappresentare un ordine nascosto, relegando i nostri comuni numeri a dei rami collaterali come espressione di una struttura matematica della nostra “terra di mezzo” per costituire l’ossatura della contingenza.
La teoria e l’identificazione dei numeri primi nasce ad Alessandria nel terzo secolo A.C. ad opera di Euclide che negli Elementi riporta alcuni risultati fondamentali tra cui il fatto che esistono infiniti numeri primi, e che i numeri non primi possono derivare dal prodotto di più numeri primi e che questa derivazione è unica. La dimostrazione del fatto che i numeri primi sono infiniti fu attuata col metodo della reductium ab assurdum, cioè supponendo dapprima il contrario di ciò che si intende dimostrare: cioè che i numeri primi sono finiti; in modo da dimostrare ovviamente il contrario; supporre che siano finiti porta ad una contraddizione: ergo i numeri primi sono infiniti. E’ la stessa strategia attuata da Antonio, nel terzo atto del Giulio Cesare di William Shakespeare, quando esclamava che Bruto è uomo d’onore.
L’elencazione dei numeri primi fu iniziata da Eratostene [1] l’addetto alla mitica biblioteca di Alessandria, adottando il metodo del crivello che da lui prende nome (il crivello di Eratostene) [2] e oggi la lista arriva al numero primo composto da 7 miliardi di cifre: 7.816.230.000 di cifre, cioè 2 elevato alla 25.964.951 meno 1! E con i calcolatori elettronici più potenti l’elenco certamente progredirà.
L’elenco rappresenta la tavola periodica dei matematici: il 2, 3, 5 possono venir paragonati all’idrogeno, elio e litio. La sequenza dei numeri primi rappresenta un qualcosa di stabile, una sorta di linguaggio universale tanto che Carl Sagan [3] nel famoso romanzo di fantascienza “Conctat” [4] lo fa utilizzare dagli alieni per entrare in contatto con il genere umano.
A tutt’oggi non esiste alcuna formula che dimostri una qualsiasi connessione tra i numeri primi, cioè una regola che possa essere utilizzata per la loro individuazione. Sono unici e sino ad ora sembrano frutto del caos o di un ordine per ora sconosciuto, anche con l’uso degli attuali supercomputer! Per evidenziarli siamo rimasti al metodo di 2500 anni fa: il crivello di Eratostene.
Ed è strabiliante come due gemelli autistici fossero in grado di individuare i numeri primi sino a quelli composti da ventidue cifre! Un ulteriore mistero è l’esistenza frequente di numeri primi gemelli, cioè accoppiati a distanza di 2 cifre e di questi non sappiamo se la loro serie sia finita o infinita; sino alla cifra mille ne esistono 13 coppie.
Il problema dei numeri primi ha rappresentato sin dall’antichità un insormontabile traguardo; a metà del XX secolo Bernhard Riemann [5] per risolvere l’annoso problema fu il primo, dopo secoli di inutili tentativi, a modificare le modalità per affrontarlo, anzi le sovvertì: se per noi l’ordine è rappresentato dalla matematica, andò al di là dello specchio, e considerò la sequenza dei numeri primi come una sequenza ordinata. E’ un capovolgimento del punto di vista, una transizione di fase, un cambio di prospettiva: il nostro mondo disordinato e complesso e, al di là dello specchio, l’ordine universale! Questo modo apparentemente eccentrico di porsi di fronte ad un problema alcune volte produce frutti altrimenti non raggiungibili; basti ricordare il concetto introdotto dal Poincarè, che introdusse lo spazio delle fasi per risolvere il problema dei tre corpi, o l’intuizione di Einstein nei riguardi dello spazio-tempo. Sono esempi che confermano quanto scritto da Marcel Proust in “Alla ricerca del tempo perduto”: “L’unico vero viaggio verso la scoperta non consiste nella ricerca di nuovi paesaggi, ma nel possedere nuovi occhi”. Dovremmo sempre avere a mente questo detto!
Per i numeri primi Riemann formulò una congettura, nota come ipotesi del Riemann, con la quale dimostrò l’ordine dei numeri primi, ponendoli su di una “linea critica”, la “retta magica di Riemann”. Purtroppo nel 1866, mentre l’esercito prussiano entrava a Gottinga, il sommo matematico tedesco lasciava in fretta e furia la città per rifugiarsi nell’amata Italia, abbandonando pagine e pagine di appunti tra cui, purtroppo le dieci pagine che documentavano la dimostrazione della sua congettura.
Quelle preziose carte furono date inavvertitamente alle fiamme dalla sua solerte governante e la morte dell’illustre matematico decretò il perdurare del mistero e l’inizio della ricerca sino ad oggi senza alcun risultato; in barba al premio di un milione di dollari promesso da un magnate americano a chi risolverà quale sia l’ordine dei numeri primi! Per ora, per il loro mistero, servono come cifrario riservato RSA [6], che si basa sulla difficoltà di scomporre in fattori primi numeri molto grandi con centinaia di cifre decimali.
La risoluzione dell’enigma dei numeri primi ha stimolato le menti matematiche di Euclide [7] ad Alessandria, di Eulero [8] a San Pietroburgo e del trio di Gottinga: Gauss [9], Dirichlet [10] e Riemann, e resiste da ben 2500 anni! Il mistero non è solamente matematico, perché dalla congettura del Riemann sono state evidenziate delle misteriose e intriganti somiglianze tra le sequenze della distribuzione degli zeri della retta di Riemann con i livelli energetici dei nuclei degli atomi pesanti misurati in via sperimentale, ottenuti dai fisici quantistici per predire i livelli energetici nel nucleo atomico pesante, quanto viene bombardato con neutroni a bassa energia.
Ora dobbiamo ritornare brevemente nel mondo dei quanti ricordando che all’inizio del XX secolo l’atomo era considerato un minuscolo sistema planetario con il nucleo centrale, come il sole ed i pianeti su orbite diverse; gli studi teorici e gli esperimenti modificarono questo modello considerando l’atomo come una sorgente di vibrazioni, come fosse un tamburo che percosso crea numerose vibrazioni composte da alcune forme d’onda fondamentali con frequenze caratteristiche; le frequenze sono determinate ciascuna dalla forma dello strumento, dalla tensione della pelle del tamburo, dalla pressione esterna e da altri fattori. Il suono che risulta dalla percussione del tamburo è una sommatoria di tutte queste diverse e complesse frequenze non armoniche, a differenza di quelle prodotte dagli altri strumenti musicali, che risultano armoniche, tanto è vero che dai tamburi non vengono prodotte note identificabili. Anche gli atomi, studiati dalla fisica quantistica, comportandosi come i tamburi, vengono riconosciuti per le loro vibrazioni e per l’emissione del loro spettro luminoso.
Le vibrazioni, come la luce rappresentano le connessioni della rete dell’Universo, rendendolo unitario. A questo punto sento di dover citare Freeman Dyson [11], fisico inglese, che divideva gli scienziati in due categorie: gli uccelli e le ranocchie. “Gli uccelli – affermava - veleggiano alti sopra il loro campo, abili a cogliere le grandiose connessioni che attraversano il paesaggio; le ranocchie passano il tempo a sguazzare nel fango e a nuotare in un piccolo stagno con cui acquisiscono una grande familiarità”. E’ questa una verità che la scienza attuale sta considerando, poiché é finito il tempo del riduzionismo ed iniziato quello dello studio della complessità, che porta come primo elemento volare in alto e possedere una visione complessiva del mondo, non schematica nè limitata. E anche qui voglio ripetere la frase poco conosciuta di Einstein: “Immagination is more important than knowledge”; e aggiungere: “guardare la realtà con occhi diversi, oltre lo specchio”.
Persi Diaconis [12], noto statistico della Stanford University, si interessò alla distribuzione degli zeri della retta e del paesaggio di Riemann quando venne a conoscenza che la loro distribuzione presentava analogie con quelle delle frequenze di un tamburo quantistico; controllò la distribuzione di più di cinquantamila zeri a partire da 1020 dei numeri primi e scoprì una corrispondenza perfetta tra le due distribuzioni in campi considerati diversissimi. Era una conferma ulteriore che la distribuzione degli zeri sono analoghi e derivano dalle vibrazioni di un tamburo matematico casuale le cui frequenze si comportano come i livelli energetici della fisica quantistica. Questo nuovo andamento statistico fu poi evidenziato da Diaconis non solo a proposito dei nuclei degli atomi pesanti e nella distribuzione degli zeri della funzione zeta di Riemann, ma anche nel sequenziamento del DNA e nelle proprietà del vetro, dimostrando l’unitarietà del fenomeno che ne costituisce il fondamento. Questo andamento statistico è stato poi utilizzato anche per risolvere un problema apparentemente frivolo, ma, dal punto di vista matematico importante: quale è la possibilità di scoprire la struttura matematica intima del solitario Klondike [13]; solitario che si gioca sin dal 1780 e che con l’era Window dei nostri computer ha permesso a volte ad alcuni ricercatori e professori universitari di distrarsi per poco tempo e ad altri di passare ore e ore di ozio retribuito! Senza nemmeno annotare con quale percentuale il gioco riesca! Per Diacois il gioco mediamente riesce ogni quindici giocate, mentre il Klondike continua a conservare i suoi segreti strutturali matematici ad onta delle frequenze dei livelli energetici della fisica quantistica!
Dopo questa rapida e superficiale carrellata sui misteri dei numeri primi, ciò che comunque vorrei emergesse, è l’impressione che qui sottolineo: la sensazione che al di sotto di ogni evento esiste una rete dinamica, che emerge e si ripete in ambiti diversi. Ad esempio le onde sonore e le vibrazioni, che ne sono il tramite, riescono unitariamente a far emergere processi di auto-organizzazione di sottili strati di sabbia, che si modellano in forme geometriche, diverse a secondo del contesto in cui sono poste e variabili a seconda della forma, delle dimensioni e della struttura del supporto costituito da lastre rigide, che rappresentano la base del fenomeno e contribuiscono alla loro formazione: ricordo le “figure sonore” che emergono sulle lastre di Chladni[14] dovute alle vibrazioni indotte da una archetto di violino. Quando una lastra di materiale compatto, fissata al centro, viene messa in vibrazione, granelli di sabbia disposti uniformemente sulla superficie, iniziano a saltellare e si dispongno nei punti ove le vibrazioni sono inferiori dando forma a eleganti figure simmetriche: le figure sonore di Chladni, nelle quali si distinguono perfettamente le linee nodali dalle porzioni della lastra che invece sono coinvolte dalla vibrazione. Le vibrazioni che si ottengono generano affascinanti figure geometriche ed evidenziano una sintesi tra vibrazioni, suoni e matematica, espressione dell’incontro tra arte e scienza. Napoleone stesso, affascinato dalla complessità del problema, istituì un premio consistente in una medaglia d’oro del peso di un chilogrammo a chi avesse saputo chiarire il fenomeno dal punto di vista matematico e nel 1809 bandì un concorso con scadenza biennale. Dopo due anni Marie-Sophie Germain[15], utilizzando lo pseudonimo maschile Le Blan, fu l'unico matematico(a) a concorrere per il premio, ma non venne premiata per alcuni errori rilevati dalla commissione; comunque dopo due anni, nel 1815, la Germain dopo aver corretto il manoscritto, con l'aiuto di Lagrange, riuscì a vincere il premio. Ciononotante il suo nome, poiché era di sesso femminile, non fu compreso nella lista dei 72 scienziati ricordati sulla targa della Torre Eiffel, benché le sue ricerche sull’elasticità dei metalli fossero state essenziali per la costruzione dell’imponente torre d’acciaio; solo dopo la sua morte le fu conferita, su sollecitazione di Gauss, la Laurea Honoris causa dall’università di Gottingen; anche perché il fenomeno da lei studiato era in forte analogia con il metodo con il quale in seguito Faraday, ricorrendo alla limatura di ferro, riuscì a visualizzare, pochi decenni dopo, il campo magnetico in situazioni fisiche differenti. Anche questa analogia evidenzia l’unitarietà delle dinamiche strutturali sottese e proprie della natura.
Ma tornando al problema dei numeri primi, ancora oggi il mistero rimane insoluto, in barba a quel milione di dollari [16] stabilito come premio da quel ricco magnate americano a chi riuscirà a risolvere l’enigma dell’ordine dei numeri primi e del loro rapporto con i numeri non blasonati!
[2] Il crivello di Eratostene é uno dei primi esempi di
algoritmo, cioè di procedimento "automatico", applicato alla
determinazione dei numeri primi in un certo intervallo numerico. Supponiamo, ad
esempio, di voler trovare i numeri primi minori di 100. Scriviamo tutti i
numeri compresi tra 2 e 100
in una tabella. Poi cancelliamo tutti i multipli di 2,
di 3, di 5, e di 7; i numeri che rimangono sono i numeri primi tra 2 e 100. Il
crivello è un particolare setaccio, il significato del nome è chiaro: abbiamo
setacciato i numeri da a 100 finché non sono rimasti che i numeri primi.
[3] Carl Sagan (1934 – 1996) è stato un astronomo,
astrochimico, divulgatore scientifico e autore di fantascienza.
[4]
“Conctat. Un messaggio dal cosmo sconvolge la terra”. Premio Pulizer.
[6] Il
sistema RSA ideato da Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adelman
negli anni ’70 usa i numeri primi per proteggere i numeri delle carte di
credito.
[8]
Leonhard Euler é considerato il più importante matematico
dell'Illuminismo.
Allievo di Johann Bernoulli, ha fornito contributi in
svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni
speciali, meccanica razionale, meccanica
celeste, teoria dei numeri, teoria dei
grafi.
[9] Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matematico,
astronomo
e fisico
tedesco,
che ha fornito contributi determinanti all'analisi matematica, teoria dei
numeri, calcolo numerico.
[10] Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) è stato un matematico
tedesco.
Nella teoria dei numeri, il teorema di Dirichlet afferma che dati due numeri interi
coprimi
a e b, esistono infiniti primi
e rappresenta una naturale generalizzazione di quanto affermato da Euclide,
e cioè che esistono infiniti numeri primi.
[11] Dyson Freeman “A walk
through Ramanujan garden” in “Ramanujan
Revisited”. Academic Press Boston 1988
[12]
Persi Diaconis in “L’enigma dei Numeri Primi. L’ipotesi di Riemann il più
grande mistero della matematica” Marcus de Sautoy. Traduzione de”Music of the
Primes” 2003. Prima edizione BUR Saggi settembre 2005. RCS Libri S.p.A. Milano.
[13] Klondike è un solitario fatto con le carte spesso chiamato semplicemente
Solitario. Probabilmente è il più conosciuto gioco di carte. Si gioca con un
mazzo di carte francesi, Al momento, nessuno conosce
quali solitari Klondike sono risolvibili e quanti non lo sono. Nessuno ha
provato a trovare un modello matematico per questo gioco.
[14] Metodo delle "figure sonore" inventato nel
1787 dal fisico tedesco Ernest Chladni (Pag 109)
[15] Marie-Sophie
Germain (Parigi,
1º aprile
1776 – Parigi, 27 giugno
1831) è stata una matematica
francese, nota per il suoi lavori nel campo della teoria dei
numeri e della teoria dell'elasticità. La Germain rappresenta
un'icona del movimento femminista per la battaglia che
condusse contro i pregiudizi sociali e culturali del suo tempo. Infatti per
diversi anni fu costretta ad utilizzare uno pseudonimo
maschile (M. Le Blanc), perché all'epoca le donne erano ancora escluse dagli
ambienti accademici. Le occorsero diversi anni di duro lavoro per essere
riconosciuta ed apprezzata per i suoi contributi nel campo della matematica; ma
il suo nome non figura tra i settantadue grandi scienziati ricordati sulla
torre Eiffel, benché le sue ricerche sull’elasticità dei metalli fossero state
determinanti per la costruzione della torre d’acciaio!
[16] Del
Clay Mathematics Institut
Nessun commento:
Posta un commento