8 Ma cosa sono i frattali ?

8              Ma cosa sono i frattali ?

Possiamo grossomodo definirli oggetti geometrici caratteristici della complessità e presenti in ogni struttura naturale. 

La definizione più semplice e corretta é: “Un frattale è un oggetto geometrico fatto di parti in un certo senso simili al tutto” (Mandelbrot, 1987) Questa può essere considerata la più semplice e corretta, seppure intuitiva, definizione di frattale. Ma cosa significa tale definizione? Significa che, se un oggetto è frattale, esso ci appare sempre con le stesse caratteristiche, a prescindere dalla risoluzione con la quale lo osserviamo- proprietà questa - nota come invarianza di scala. 

Immaginiamo ad esempio delle nuvole: esse appaiono costituite da molte protuberanze, a loro volta contenenti rigonfiamenti più piccoli, espressione di altri rigonfiamenti, e così via, fino alle dimensioni più piccole che siamo in grado di vedere. In realtà, da una fotografia che mostra solo nuvole non è possibile ricavare le loro dimensioni, senza paragonarle a strutture di cui si conosce la dimensione. Ricordo, quando giocavo con mia madre, utilizzavo i rametti di un albero per formare il boschetto dove nascondevo i soldatini. La caratteristica più appariscente della forma delle nuvole è la struttura fortemente irregolare, “interrotta”. Il termine frattale deriva infatti dall’aggettivo latino fractus, che significa interrotto, irregolare. Qualsiasi oggetto frattale può essere caratterizzato dalla sua dimensione frattale, cioè dalla misura della sua irregolarità. La dimensione frattale non è necessariamente un numero intero. Così, a differenza delle dimensioni abituali, una superficie molto irregolare, come quella delle nuvole, ha dimensione frattale compresa tra due e tre, (tra la figura piana e quella del volume). Analogamente, certe curve molto frastagliate, e ne vedremo esempi, hanno dimensione frattale compresa tra uno e due. 

Se la conoscenza della geometria frattale è dai più misconosciuta, ciò non significa che questa geometria rappresenti un qualcosa di particolare: affatto! La geometria frattale é la geometria della natura e dell’Universo stesso. Questa è una verità che nel terzo millennio dovrebbe essere da tutti conosciuta e considerata! 

I frattali possono servire anche a produrre disegni complessi sulla base di procedure matematiche; Cliff Reiter del Lafayette College di Easton in Pennsylvania, ha prodotto fiocchi di neve [1], usando automi cellulari, cioé processi matematici di regole semplici, capaci di generare forme estremamente complesse se applicate ripetutamente allo stesso sistema. 

Il ciclo dell’acqua, uno dei cicli essenziali del nostro habitat, mi è stato insegnato alle elementari e lo ricordo illustrato in una figura in bianco e nero sul libro della terza elementare: la pioggia, che si forma dalle nuvole, i ruscelli, i fiumi, i vari tipi di foce nel mare, poi l’evaporazione (segnalata da piccole freccette all’insù, la condensazione, con il formarsi delle nuvole: in basso indistinte, in alto stagliate: e il ciclo era completo e poteva continuare, seguendo la freccia circolare. 

Il sistema fluviale che raccoglie le acque nel cosiddetto bacino imbrifero rispecchia i caratteri geofisici del territorio: le montagne, i dislivelli, le rocce, i minerali e dipende principalmente dal clima: dalle variabili quantità delle precipitazioni, che condizionano la portata d’acqua. Questa rete fluviale è frutto della storia geologica e fisica del territorio e di conseguenza è diversa da caso a caso. Ciononostante una attenta osservazione dei sistemi fluviali ha evidenziato una uniformità a dir poco strabiliante; ciascun bacino idrografico è costituito da numerosi segmenti di diversa dimensione, e, se vogliamo quantificare questi segmenti in base alla loro dimensione riportando su di un asse cartesiano, i risultati della loro distribuzione non evidenzieremo una curva gaussiana – la loro distribuzione non presenterà un picco medio, come nel caso dovessimo considerare l’altezza degli alberi di quel territorio - ma la distribuzione seguirà la legge di potenza. Quando il bacino idrografico di un fiume raddoppia, il numero dei segmenti si riduce di un fattore di 2,7. Se, ad esempio, un territorio di 1000 chilometri quadrati presenta 100 segmenti, un territorio di 2000 chilometri quadrati ne possiederà solamente 37. E’ una legge semplice ed inaspettata valida per qualsiasi fiume: dal Rio delle Amazzoni, al Tevere, al Nilo, al Danubio e all’Ofanto. Questa distribuzione alla potenza riflette una legge universale. 

Il punto, la retta, il cerchio sono gli elementi della geometria euclidea con i quali possiamo costruire elementi complessi: i piani, i triangoli, i quadrati, i coni, le sfere ed i cubi, che così acquisiscono significato geometrico; queste forme comunque rappresentano un’astrazione della realtà. La maggior parte, se non tutte le strutture naturali: le coste, le montagne, le foglie, i bronchi, gli epiteli, le ossa, l’irregolarità delle onde cerebrali, le nuvole, le galassie e la stessa struttura dell’Universo sono frattali [2]. Tutte queste strutture a scale diversa di grandezza, da pochi millimetri ad anni luce, presentano sempre gli stessi elementi fondamentali, presentano: l’invarianza di scala, cioè autosomiglianza. La configurazione ripetitiva conferisce la dimensione frazionaria o frattale alla struttura. Questa geometria descrive le forme della natura in maniera più completa e più precisa ed esteticamente più valida, rispetto alla geometria euclidea, che a noi è a tutt’oggi ancora familiare. “Le montagne non sono coni, le nuvole non sono sfere ed il fulmine non si propaga in linea retta”, queste sono frasi spesso ripetute da Maldenbrot [3]; ideatore e scopritore di questa nuova visione geometrica della natura; infatti le struttura naturali, tranne in poche occasioni, non è descrivibile con la geometria euclidea, ma è rappresentabile perfettamente con la geometria frattale. I frattali pertanto ritraggono l’aspetto della geometria, che non si esprime con le forme primarie: rette, punti, cerchi, bensì mediante con algoritmi, cioè mediante insiemi di procedure matematiche. Questi algoritmi vengono poi presentati visivamente in forme geometriche con l’uso del computer. Gli algoritmi, cioè gli insiemi di procedure matematiche, sono infiniti ed è questo il motivo per cui la geometria frattale può descrivere con semplicità e precisione qualsiasi forma e qualsiasi struttura naturale esistente. Per comprendere la diversità tra geometria euclidea e quella frattale possiamo paragonare la prima al linguaggio delle lingue indoeuropee, che per identificare le parole ed i concetti utilizzano le lettere degli alfabeti come analoghi alle linee, ai punti ed ai cerchi, e la geometria frattale alle lingue asiatiche (di cui il cinese è paradigma), che utilizzano direttamente i simboli e gli ideogrammi, che sono infiniti, come infiniti sono gli algoritmi, che sottendono ai frattali. I frattali sono forme geometriche, non regolari come quelle euclidee, ma del tutto irregolari a qualsiasi scala di misurazione considerate, perchè sono autosimilari, ovvero una loro parte è simile al tutto, come una parte del cavolfiore è simile all’intero ortaggio o un ramo all’albero. Il significato in biologia di queste ricorrenti similitudini indica che le regole che sottendono alla crescita su scala ridotta sono identiche a quelle utilizzate su scala macroscopica. L’invarianza di scala, cioè l’autosomiglianza, trova poi un parallelo negli eventi caotici deterministici, che manifestano anch’essi andamenti simili autosomiglianti su scale temporali diverse. Tra frattali e caos deterministico vi è una corrispondenza profonda e non accidentale, che testimonia la relazione tra loro esistente, tanto da poter affermare che la geometria frattale è la geometria del caos e della complessità, e li potremmo interpretare come sorta di quantizzazione dello spazio. Esistono anche dei frattali artificiali che possono essere generati con un programma al computer, dagli algoritmi, cioè da procedure matematiche come ad esempio: l’insieme di Mandelbrot. In questo caso l’algoritmo è molto semplice: preso un numero complesso c, si considera la successione di numeri complessi zn+1 = z2n + c; z0= 0 se il modulo del numero complesso ottenuto iterando molte volte la formula rimane finito, allora c appartiene all’insieme di Mandelbrot. 

Lo scopritore o meglio l’ideatore dalla geometria frattale è stato un matematico di chiara fama, ma, com’è arcinoto, i Matematici non possono ambire al premio Nobel per il semplice motivo che la Matematica non è inclusa tra le discipline idonee al premio. Quale il motivo di questa esclusione? Semplice: la Moglie di Nobel aveva una simpatia con un matematico! Poiché i frattali esprimono la geometria della Natura e Benoit Mandelbrot avrebbe arcimeritato il premio Nobel, la sua attività scientifica è stata premiata con il conferimento di diciotto Lauree Honoris Causa in vari settori coinvolti dalla geometria frattale; tra cui, come è stato riferito a pag. 13 la Laurea Honoris Causa in Medicina e Chirurgia dall’Università di Bari. 

Il modello di aggregazione a diffusione limitata (A.D.L.) cioè il complesso di Tony Witten e Leonard Saunders presenta una struttura che si forma sempre in modo diverso, ma che evidenzia costantemente sempre le stesse caratteristiche: quando una particella si trova ad una distanza R dal centro di qualsiasi gruppo di particelle, al raddoppiare di R il numero di particelle cresce di 2,5 volte: segue cioè la legge alla potenza. Questo accrescimento avviene anche nei cristalli e può essere definito un processo “storico” di non equilibrio, con la formazione di strutture frattaliche ad invarianza di scala. 

La storia non rivela ciò che succederà in futuro, perché non si ripete mai; anche nella società umana nulla accade due volte dalle stesse identiche premesse e nello stesso identico modo [4], anche se il Vico [5] aveva evidenziato “i corsi ed i ricorsi della storia”. La storia in effetti non è mai identica, ma è simile, come le infinite possibilità di percorso di una rappresentazione in una qualsiasi dinamica complessa, che può essere rappresentata da un attrattore costituito da percorsi simili, ma mai identici e sovrapponibili! 

[1] Lo studio è stato pubblicato su “ Chaos, Solutions and Fractals” gennaio 2005

[2] Il termine frattale è stato coniato da Benoit B. Mandelbrot traendolo dal latino fractus: frangere, rompere. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman. San Francisco 1983

[3] Il 13 novembre 2007 su segnalazione della prof.ssa Rosalia Ricco e del prof. Pietro Izzo alla Facoltà di Medicina e Chirurgia gli è stata conferita dall’Università degli Studi di Bari la Laurea Honoris Causa in Medicina e Chirurgia.

[4] Richard Evans in “Defence of History” citato da Bukannan in Ubiquità.

[5] Giambattista Vico (1668-1744) benchè durante l'infanzia si fosse fratturato il cranio impedendogli di frequentare la scuola per tre anni, in seguito abbandonò definitivamente gli studi, che continuò come autodidatta dedicandosi alla grammatica, alla logica e alla giurisprudenza riuscendo a diventare il filosofo, storico e giurista di fama, che tutti conosciamo .